Mathémusiques

On joue de la musique depuis des temps immémoriaux. Mais c’est au VIe siècle av. J.-C. que Pythagore a l’idée d’appliquer les mathématiques à la théorie de la musique classique occidentale. Pour en savoir plus, viens tendre l’oreille dans les coulisses de la musique.

Intérieur d'un piano

Intérieur d’un piano laissant apercevoir les différentes longueurs des cordes qui le composent. (Image: Macsuga/CanStockPhoto)

Le solfège de Pythagore

Dès l’Antiquité, l’enseignement des arts libéraux 1 définissait les mathématiques comme étant composées de quatre disciplines: l’arithmétique, la géométrie, l’astronomie et la musique. Cette conception mathématique de la musique prend sa source dans les travaux de Pythagore. Celui-ci utilisa un instrument rudimentaire, le monocorde, pour mettre en évidence les propriétés fondamentales qui régissent la musique. Quand on joue à vide la corde de cet instrument, il se produit un son d’une hauteur définie. Si on place le chevalet de sorte à diviser par la moitié la longueur de la corde, la note produite sera la même que précédemment mais une octave 2 au-dessus. En plaçant le chevalet au tiers de la longueur de la corde, et en jouant la partie la plus courte de la corde, on tombe alors sur la quinte 3 supérieure à l'octave de la note initiale, c’est-à-dire dont la fréquence est 3 fois plus élevée. Ces quelques exemples ont conduit Pythagore à constater que la fréquence du son était inversement proportionnelle à la longueur de la corde (voir la fig. 1 et l’encadré).

Illustration d'un monocorde

Illustration d’un monocorde. On constate en fait deux cordes. La première servait à produire un son de référence, tandis que la deuxième était munie d’un chevalet permettant de raccourcir sa longueur. (Illustration: Athanasius Kircher/Wikimedia Commons, domaine public)

La quinte est donc un intervalle obtenu en multipliant par 3 la fréquence de la note produite par la corde jouée à vide, mais aussi par 1.5 car, on l'a vu, multiplier ou diviser par 2 une fréquence revient à produire la même note à des octaves différentes. Avec la note de départ et sa quinte, on a maintenant deux notes différentes qui «sonnent bien» ensemble. Pour construire de nouvelles notes, il suffit donc de chercher la quinte suivante à partir de la note qu’on vient de trouver. Ces deux notes sonneront également de manière harmonieuse. Pythagore, toujours lui, définit la note de départ comme étant un fa. Sa quinte est do, dont la fréquence est 1.5 fois celle de fa. La quinte de do est sol, et ainsi de suite on trouve , la, mi et si. Il y a 7 notes, mais le choix de ce nombre est arbitraire, vraisemblablement dû à la symbolique de ce chiffre, chère aux pythagoriciens. Ce processus est appelé cycle des quintes et s’arrête après 12 quintes (on ajoute des dièses # au nom des notes déjà citées pour définir les notes de la huitième à la douzième). On parle de cycle, car il se trouve que la quinte suivant la douzième note (la#) aboutit à un rapport de fréquence très proche de celui de la note à partir de laquelle on a débuté le cycle (fa). Pythagore a considéré, faute de mieux, que le cycle était bouclé.

L'approximation inhérente au cycle des quintes est la pierre d'achoppement de toute théorie musicale. Elle se retrouve dans la construction des notes dans l’intervalle d’une octave. En effet, le rapport de 1.5 (3/2), élevé à la puissance 12, divisé par une puissance de 2 pour rester dans la même octave, ne permet pas d'aboutir à un intervalle étant exactement une octave:

Cycle des quintes

Construction des notes en suivant le cycle des quintes. On divise par 2, quand c’est nécessaire, pour obtenir des valeurs entre 1 et 2 et rester ainsi dans la même octave. Le do rouge correspond à l’octave supérieur, le fa de ‘départ’ est dans l’octave inférieure. (Illustration: Rédaction SimplyScience.ch)


L'intervalle séparant la 12e note (la#) de la première (fa) n'est pas une quinte parfaite, ce qui la fait «sonner faux». On l'appelle la quinte du loup, pour l'impression de hurlement produite par cet intervalle (voir fig. 2).

Cycle des quintes

Représentation linéaire du cycle des quintes. Les notes sont définies par leur rapport de fréquence à do. La quinte suivant la# (indiquée par la flèche) est si proche d’un fa qu’on ne crée pas de nouvelle note. Cette quinte imparfaite est la quinte du loup. (Illustration: Rédaction SimplyScience.ch)

La musique moderne

A partir de la Renaissance, cette manière de construire la musique devint véritablement problématique suite à l’avènement de la polyphonie, cette technique consistant à jouer simultanément plusieurs notes afin de former des intervalles harmoniques. L’accord parfait majeur, qui est à la base de l’harmonie, superpose une fondamentale 4, une tierce majeure 5 (rapport à la fondamentale: 5/4 = 1.25) et une quinte (rapport à la fondamentale: 3/2 = 1.5). Par exemple, l’accord de do majeur est composé de do, mi et sol. La tierce est un intervalle qui, au même titre que la quinte, sonne agréablement à l’oreille. Or, la tierce n’apparaît pas dans le cycle des quintes – ou plutôt, la tierce est approchée par la succession des quintes comme l’est l’octave, de manière imparfaite:

Cela ne signifie pas que la tierce soit un intervalle plus grand que la quinte, mais que la succession de 4 quintes (l’écart entre fa et la par exemple) est proche d’une tierce.

L’impossibilité d’obtenir des tierces justes avec la gamme pythagoricienne a eu pour conséquence de reléguer la tierce au rang des intervalles «impurs» durant tout le Moyen-Âge (voir la vidéo). Pour pallier ce problème, on fit un compromis en créant les tempéraments mésotoniques. Cet artifice consiste à diminuer légèrement le rapport 3/2 de la quinte naturelle afin de tomber exactement sur une tierce majeure après 4 quintes. Seulement, en accordant les instruments ainsi, la quinte du loup devient encore plus prononcée. De plus, les intervalles entre les différentes notes n’étant pas égaux, on ne peut pas transposer d’une gamme à une autre – par exemple décaler la mélodie do-mi-sol d’un demi-ton vers le grave donnerait si-ré#-fa# – sans «tordre» la mélodie.

Dans le système musical actuel, on a choisi un autre compromis: le tempérament égal. Il consiste à diviser l’octave en douze intervalles égaux, appelés demi-tons chromatiques. De cette manière, toutes les transpositions sont possibles sans altérer la mélodie. Mais de l’autre côté, les intervalles ne sont plus purs – comme dans l’accord pythagoricien, ou dans une moindre mesure avec le tempérament mésotonique. A chaque compromis ses avantages et ses inconvénients.

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De l’harmonie des notes

La hauteur d'une note est définie par une fréquence f, mesurée en Hertz. Plus une note est aigüe, plus la fréquence est élevée. Aujourd'hui, on fixe conventionnellement à 440 Hz le la au-dessus du do central. C'est le son produit par le diapason. Une note possédant une fréquence f a dans son spectre sonore les fréquences f, 2f, 3f, 4f, etc. Deux notes ayant des spectres similaires paraîtront harmonieuses. Une note de fréquence 3f aura comme spectre 3f, 6f, 9f, 12f, etc.; son spectre est contenu dans le spectre précédent. Les notes correspondantes à f et 3f sont respectivement la fondamentale et la quinte. Elles sont agréables à l'oreille quand elles sont jouées ensemble. Il en va de même pour la tierce, de fréquence 5f.

Définition des mots spécifiques:

1Arts libéraux : disciplines constituant une grande part de l’enseignement des lettres latines et des sciences depuis l’Antiquité jusqu’au Moyen-Age.
2Octave: intervalle séparant deux notes ayant le même nom (p. ex. do-do).
3Quinte: intervalle entre deux notes séparées par cinq degrés (p. ex. do-sol).
4Fondamentale: note de base sur laquelle est construit un accord.
5Tierce majeure: intervalle de deux tons (p. ex. do-mi).


Texte: Rédaction SimplyScience.ch

Sources:
Pourquoi les mathématiques ? Chapitre 4: La portée mathématique, Rémi Coulon, Ed. Ellipses.
7 notes dans la gamme… Toujours? Pourquoi?
Les mathématiques de la musique (avec Vled Tapas) — Science étonnante #41
Kaamelott, Livre II: La quinte juste.